Approche analytique des problèmes de physique [SPHYB311]

Acquis d'apprentissage

Objectifs

Pouvoir résoudre analytiquement des problèmes de physique classique et quantique.

Contenu

La première partie du cours comporte trois chapitres indépendants. Le premier traite du calcul des variations, introduit par le problème de la brachistochrone. Les équations d'Euler sont dérivées dans quelques cas importants illustrés par des exemples concrets. Le second chapitre est une classification des équations aux dérivées partielles. Le troisièmes chapitre est une introduction aux problèmes non linéaires. La seconde partie du cours est consacré aux fonctions spéciales importantes de la physique mathématique : les fonctions de Bessel ; les fonctions de Bessel modifiées et sphériques ; les polynômes de Legendre ; les fonctions de Legendre associées et les harmoniques sphériques ; les propriétés des polynômes orthogonaux ; les fonctions hypergéométriques confluentes.

Table des matières

1) Calcul des variations Problème de la brachystochrone Problème fondamental : minimisation d'une fonctionnelle à une variable Généralisations au cas de plusieurs variables indépendantes application : potentiel électrostatique Cas de plusieurs fonctions dépendant d'une variable application : principe de Fermat en optique Effets des contraintes : les multiplicateurs de Lagrange application : équation de Schrödinger 2) Problèmes non linéaires Oscillateur anaharmonique Introduction au chaos Solitons 3) Fonctions de Bessel Résolution de l'équation de Helmholtz par séparation des variables en coordonnées cylindriques Fonction de Bessel de première espèce (résolution de l'équation différentielle de Bessel par la méthode de Frobenius) Fonction de Bessel de seconde espèce Fonctions de Bessel modifiées Fonctions de Bessel sphériques Applications des fonctions de Bessel en physique 4) Polynômes et fonctions de Legendre Fonction génératrice des polynômes de Legendre Relation de récurrence, équation différentielle, orthogonalité Fonctions de Legendre associées : définitions, propriétés Résolution de l'équation de Helmholtz par séparation des variables en coordonnées sphériques Harmoniques sphériques et applications 5) Polynômes orthogonaux Définitions Relation de récurrence Polynômes d'Hermite Polynômes de Laguerre généralisés 6) Fonctions hypergéométrique confluentes Equation différentielle et sa solution générale Fonction de Kummer Fonction d'Hermite Fonction hypergéométrique confluente de seconde espèce

Description des exercices

Applications des concepts vus au cours à des problèmes de physique