Cours 2020-2021

Approche analytique des problèmes de physique [SPHYB311]

  • 3 crédits
  • 22h+15h
  • 1er quadrimestre
Langue d'enseignement: Français

Acquis d'apprentissage

Introduire des éléments de mathématiques appliquées indispensables à la résolution de problèmes de physique. Fournir quelques éléments de physique non linéaire.

 

 

Objectifs

Pouvoir résoudre analytiquement des problèmes de physique classique et quantique.

Contenu

La première partie du cours comporte trois chapitres indépendants. Le premier traite du calcul des variations, introduit par le problème de la brachistochrone. Les équations d'Euler sont dérivées dans quelques cas importants illustrés par des exemples concrets. Le second chapitre est une classification des équations aux dérivées partielles. Le troisièmes chapitre est une introduction aux problèmes non linéaires. La seconde partie du cours est consacré aux fonctions spéciales importantes de la physique mathématique : les fonctions de Bessel ; les fonctions de Bessel modifiées et sphériques ; les polynômes de Legendre ; les fonctions de Legendre associées et les harmoniques sphériques ; les propriétés des polynômes orthogonaux ; les fonctions hypergéométriques confluentes.

Table des matières

1) Calcul des variations Problème de la brachystochrone Problème fondamental : minimisation d'une fonctionnelle à une variable Généralisations au cas de plusieurs variables indépendantes application : potentiel électrostatique Cas de plusieurs fonctions dépendant d'une variable application : principe de Fermat en optique Effets des contraintes : les multiplicateurs de Lagrange application : équation de Schrödinger 2) Problèmes non linéaires Oscillateur anaharmonique Introduction au chaos Solitons 3) Fonctions de Bessel Résolution de l'équation de Helmholtz par séparation des variables en coordonnées cylindriques Fonction de Bessel de première espèce (résolution de l'équation différentielle de Bessel par la méthode de Frobenius) Fonction de Bessel de seconde espèce Fonctions de Bessel modifiées Fonctions de Bessel sphériques Applications des fonctions de Bessel en physique 4) Polynômes et fonctions de Legendre Fonction génératrice des polynômes de Legendre Relation de récurrence, équation différentielle, orthogonalité Fonctions de Legendre associées : définitions, propriétés Résolution de l'équation de Helmholtz par séparation des variables en coordonnées sphériques Harmoniques sphériques et applications 5) Polynômes orthogonaux Définitions Relation de récurrence Polynômes d'Hermite Polynômes de Laguerre généralisés 6) Fonctions hypergéométrique confluentes Equation différentielle et sa solution générale Fonction de Kummer Fonction d'Hermite Fonction hypergéométrique confluente de seconde espèce

Description des exercices

Applications des concepts vus au cours à des problèmes de physique


Pré-requis

Physique mathématique I [SPHYB210]

Méthodes d'enseignement

Les modalités d'enseignement et d'évaluation des unités d'enseignement ont été rédigées en fonction de la situation à la rentrée académique 2020-2021. Cependant, ces modalités pourraient faire l'objet de modifications en fonction de l'évolution de la crise sanitaire liée à la covid-19. Les étudiants seront informés de toute modification de la situation générale (passage à l'enseignement à distance partiel ou complet) par les autorités de l'UNamur tandis que les modifications propres à chaque unité d'enseignement leur seront communiquées par les enseignants, via webcampus

Cours magistral.

Mode d'évaluation

Les modalités d'enseignement et d'évaluation des unités d'enseignement ont été rédigées en fonction de la situation à la rentrée académique 2020-2021. Cependant, ces modalités pourraient faire l'objet de modifications en fonction de l'évolution de la crise sanitaire liée à la covid-19. Les étudiants seront informés de toute modification de la situation générale (passage à l'enseignement à distance partiel ou complet) par les autorités de l'UNamur tandis que les modifications propres à chaque unité d'enseignement leur seront communiquées par les enseignants, via webcampus

Écrit, combinant questions liées à la matière vue aux cours et aux TD (avec accès au formulaire de Physique mathématique disponible sur webcampus)

Sources, références et supports éventuels

G. B. Arfken & H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th Ed., Elsevier Academic Press, 2005.

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle

Etudes de 1er cycle