Cours 2020-2021

Mécanique analytique [SPHYB211]

  • 7 crédits
  • 45h+45h
  • 1er et 2e quadrimestre
Langue d'enseignement: Français
Enseignant: Caudano Yves

Acquis d'apprentissage

Maîtriser les différents formalismes de la mécanique classique (newtonien, lagrangien et hamiltonien) et appréhender au moyen de ceux-ci quelques applications essentielles de la mécanique. Modéliser des problèmes dynamiques simples, obtenir les équations du mouvement et déduire leur solution éventuelle ou, tout au moins, décrire les propriétés principales du mouvement.

Contenu

Le cours débute par l'étude du mouvement de corps ponctuels ou solides subissant l'action de forces. Les lois du mouvement et de conservation de la mécanique newtonienne sont mises en évidence, de même que les lois de composition des vitesses et accélérations entre repères mobiles (dont celui du centre de masse). Un chapitre est consacré à l'étude générale du mouvement d'un système conservatif à une dimension. Ensuite, les notions de coordonnée généralisée, de contrainte, de travail virtuel et de problème variationnel sont abordées afin d'introduire le formalisme lagrangien et le principe de moindre action de Hamilton. Les caractéristiques principales du formalisme sont étudiées (notamment les lois de conservation et le cas de l'électromagnétisme). Quelques problèmes mécaniques essentiels sont alors traités : les petites oscillations, le problème des deux corps dans un potentiel central (lois de Kepler et diffusion de Rutherford), la rotation des solides. Pour terminer, le formalisme hamiltonien est introduit et les propriétés des équations de Hamilton, de l'espace de phase, des transformations canoniques et de l'action sont analysées. L'équation de Hamilton-Jacobi est déduite et la méthode illustrée via le problème de Kepler.

Table des matières

1. Mécanique newtonienne
- Mécanique du point
- Systèmes conservatifs à un degré de liberté
- Systèmes de points
- Repères non inertiels
- Le solide (1e partie)
2. Mécanique lagrangienne
- Bases du formalisme de Lagrange
- Principe variationnel de Hamilton
- Propriétés du lagrangien
- Systèmes lagrangiens
- Problème des deux corps et potentiel central
- Le solide (2e partie)
3. Mécanique hamiltonienne
- Formalisme hamiltonien
- Transformations canoniques
- Equation de Hamilton-Jacobi

Description des exercices

L'objectif des Travaux Dirigés est d'appliquer les notions vues au cours théorique dans le cadre d'applications concrètes. Ainsi, la rotation des solides sera abordée dans une première partie, à travers les rotations de solides types (cylindres, cônes...), le gyroscope ou les mouvements de remorques et hélices. Après une révision des outils mathématiques (équation différentielles, systèmes de coordonnées curvilignes...) nécessaires à la résolution des problèmes mécaniques, nous verrons dans une deuxième partie comment les formalismes lagrangien et hamiltonien peuvent être appliqués à la description des mouvements de systèmes simples (pendules couplés, systèmes de masses oscillantes à deux dimensions) et plus complexes (pendule de Foucault, piège de Penning...). La dernière partie des Travaux Dirigés inclura l'équation de Hamilton-Jacobi dans une synthèse des principaux formalismes de la mécanique analytique.

Disciplines

Physique théorique et mathématique
Mécanique analytique ou rationnelle

Méthodes d'enseignement

Le cours est principalement donné au moyen de la projection de diapositives powerpoint (animées pour rendre compte des développements progressifs des raisonnements et des équations), dont une version au format pdf est disponible sur webcampus. Les concepts fondamentaux vus au cours sont illustrés et mis en pratique lors des séances de TD.

Mode d'évaluation

La matière du premier quadrimestre est évaluée au moyen d'un examen E1 de théorie et d'exercices (examen organisé en janvier et en août).

La matière du second quadrimestre est évaluée au moyen d'un examen  d'exercice E2 et d'un examen  E3 de théorie (examens organisés en juin et en août).

Si les notes des trois examens E1, E2 et E3 sont supérieures ou égales à 8/20, la note globale est donnée par la moyenne pondérée suivante : 1/2 E1 + 1/2 (2/3 E2 + 1/3 E3). Si une note au moins (parmi E1, E2, E3) est inférieure à 8, l'examen global sera automatiquement considéré comme échoué (indépendamment de la moyenne globale obtenue pour les trois notes).

Sources, références et supports éventuels

Quelques ouvrages de référence.
- Mécanique : de la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien, Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac, EDP Sciences
- Problèmes corrigés de mécanique et résumés de cours : de Lagrange à Hamilton, Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac, EDP Sciences
- Mécanique (volumes 1 et 2), Philippe Spindel, Editions Scientifiques GB
- The variational principles of mechanics, Cornelius Lanczos, Dover
- Classical dynamics of particles and systems, Jerry Marion and Stephen Thornton, Harcourt

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle

Etudes de 1er cycle