Cours 2020-2021

Mécanique quantique I [SPHYB206]

  • 6 crédits
  • 30h+15h
  • 2e quadrimestre
Langue d'enseignement: Français

Acquis d'apprentissage

Le concept de quanton et ses conséquences

L'équation fondamentale et les postulat de la mécanique quantique (Schrödinger)

Les outils mathématique de la mécanique quantique de base

 

Objectifs

Situer la mécanique quantique dans un contexte historique et montrer comment elle décrit de manière extraordinairement exacte le monde.

Utiliser à bon escient le formalisme de la mécanique quantique, sur base des postulats.

Introduire les développements technologiques purement quantiques (Effet tunnel, spin, cryptographie, ...)

 

Contenu

Le cours propose une introduction aux concepts quantiques. Après un aspect historique, le formalisme de la mécanque quantique (équation de Schrödinger) est présenté et les premières conséquences sur les propriétés physiques de la matière et du rayonnement mises en évidence. Une part importante est consacrée aux outils mathématiques qui permettent d'appréhender ce formalisme et aux postulats. Les concepts purement quantiques (spin, localisation) sont explicités et leurs conséquences sur la compréhension du monde et sur la technologie explicité.

Table des matières

1 Les quantons
1.1 La lumière et les photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Radiation d’un corps noir et constante de Planck . . .
1.1.2 Effet Photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Effet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Création et annihilation de paires de particules - anti-
particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Le photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La matière et les quantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Modèle de Bohr de l’atome d’Hydrogène . . . . . . . .
1.2.2 Les ondes de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Confirmation expérimentale : la diffraction électronique

2 L’équation de Schrödinger et ses premières conséquences
2.1 La fonction d’onde et l’équation de Schrödinger . . . . . . . .
2.1.1 Equation de Scrödinger et conservation de particules .
2.2 Paquets d’ondes et particules . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Particule libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Paquets d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Inégalités d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Conséquence sur la taille et l’énergie d’ionisation de
l’atome d’hydgrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Evolution d’un paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . .
2.3 Etats stationnaires et superpositions d’états . . . . . . . . . .
2.3.1 Courant de probabilité de présence pour une onde si-
nusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Barrières et puits de potentiel à 1D . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Potentiel constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Potentiel constant par partie et conditions de raccord . . . . .
2.5.1 Symétrie du potentiel et parité de la fonction d’onde .
2.5.2 Etats liés et non liés, Spectres d’énergie discrets et
continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Exemples de systèmes à 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Puit infini : particule dans une boîte . . . . . . . . . .
2.6.2 Barrière de potentiel : Effet tunnel et diffusion résonante
2.6.3 Marche de potentiel : Réflexion et réfraction de particules
2.6.4 Puit Fini : états liés et états de diffusion . . . . . . . .
2.6.5 Double puits de potentiel : Interaction d’échange . . .

3 Outils Mathématiques
3.1 Espaces des états, produits scalaires et notations de Dirac .
3.1.1 Notations de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Produit scalaire et Espace des Etats . . . . . . . . . .
3.1.3 Bases dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Opérateurs et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Exemples d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Remarques sur les notations de Dirac . . . . . . . . . .
3.2.4 Opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Produits d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Opérateurs hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.8 Opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.9 Représentation matricielle des kets, bras et opérateurs
3.2.10 Fonction d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.11 Commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.12 Valeurs propres et vecteur propres d’un opérateur . . .
3.3 Ensemble Complet d’Observables qui commutent . . . . . . .
3.4 Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Représentation{|r } . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Représentation {|p } . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Lien entre les représentations {|r } et {|p } . . . . . .
3.5 Mécanique ondulatoire et matricielle . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Produit tensoriel d’espaces d’états . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Bases et espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Equation au valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 E.C.O.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Les postulats de la mécanique quantique et leurs conséquences
4.1 Etats d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Phase des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Grandeurs physiques et observables . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Résultats de la mesure d’une grandeur physique . . . . . . . .
4.4 Probabilités de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.1 Spectre discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Spectre continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Projection lors de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 L’interprétation de Copenhague . . . . . . . . . . .
4.5.2 Le chat de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Quelques avis historiques et autres interprétations
Evolution dans le temps d’un système . . . . . . . . . . .
4.6.1 Opérateur d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Conservation de la norme
.
5 Description statistique de la mécanique quantique
5.1 Indicateurs statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Valeur moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Déviation standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Inégalités d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Evolution de la valeur moyenne d’une observable . . . . . . .
5.3.1 Relation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Hamiltonien et déviation standard de l’énergie . . . .
5.4 Opérateur et matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Mélange statistique d’états . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Opérateur densité pour un état pur . . . . . . . . . . .
5.4.3 Opérateur densité pour un mélange statistique d’états
5.4.4 Populations et cohérences . . . . . . . . . . . . . . . .


6 Autres concepts purements quantiques
6.1 Le point de vue de Schrödinger, de Heisenberg et d’interaction
6.1.1 Le point de vue de Schrödinger . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Le point de vue de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Le point de vue d’interaction . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Limite classique et théorème d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Energie interne et niveau d’énergie . . . . . . . . . . .
6.2.2 Décohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Théorème d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Le Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Determinisme, localité, intrication, variables cachées . . . . .
6.4.1 Déterminisme, localité et intrication . . . . . . . . . .
6.4.2 Variables cachées et inégalité de Bell . . . . . . . . . .
6.4.3 Les expériences de Aspect . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Information, communication et Ordinateur Quantique . . . .
6.5.1 Bits et Qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Cryptographie Quantique . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Téléportation Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 Ordinateur Quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 


Méthodes d'enseignement

Les modalités d'enseignement et d'évaluation des unités d'enseignement ont été rédigées en fonction de la situation à la rentrée académique 2020-2021. Cependant, ces modalités pourraient faire l'objet de modifications en fonction de l'évolution de la crise sanitaire liée à la covid-19. Les étudiants seront informés de toute modification de la situation générale (passage à l'enseignement à distance partiel ou complet) par les autorités de l'UNamur tandis que les modifications propres à chaque unité d'enseignement leur seront communiquées par les enseignants, via webcampus

Cours magistral et travaux dirigés avec participation de l'étudiant.

Mode d'évaluation

Les modalités d'enseignement et d'évaluation des unités d'enseignement ont été rédigées en fonction de la situation à la rentrée académique 2020-2021. Cependant, ces modalités pourraient faire l'objet de modifications en fonction de l'évolution de la crise sanitaire liée à la covid-19. Les étudiants seront informés de toute modification de la situation générale (passage à l'enseignement à distance partiel ou complet) par les autorités de l'UNamur tandis que les modifications propres à chaque unité d'enseignement leur seront communiquées par les enseignants, via webcampus

Examen oral (théorie et exercices) avec préparation écrite en session. 

La partie théorique compte pour 2/3 de la note finale, la partie d'exercice pour le 1/3 restant.

 

 

 

Sources, références et supports éventuels

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique I (Editions Hermann, Collection : Enseignement des sciences, 1997)

\textit{Mécanique Quantique}(2 tomes),

N. Zettili. Quantum mechanics. Wiley (2003)

B.H. Bransden, C.J. Joachain. Quantum Mechanics.Pearson Education (2000)

C. Aslangul. Mécanique Quantique(2 tomes), De Boeck - Larcier (2007)

J.-P. Pérez, R. Charles, O. Pujol. Quantique. Fondements et applications.De Boeck (2013)

J.-M. Levy-Leblond, F. Balibar. Quantique, Rudiments. Interédition (1984)
 

 

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle

Etudes de 1er cycle