Cours 2016-2017

Méthodes avancées pour les systèmes non linéaires [SMATM227]

  • 6 crédits
  • 30h+30h
  • 2e quadrimestre
Langue d'enseignement: Français
Enseignant: MAUROY Alexandre

Acquis d'apprentissage

L’étude des systèmes (dynamiques) non linéaires est essentielle dans de nombreux domaines scientifiques. Cependant, les techniques permettant une approche globale et systématique de ces systèmes sont rares. Le but de ce cours est d’étudier des telles techniques, faisant intervenir des outils mathématiques avancés tels que la théorie des opérateurs. L’accent sera également mis sur le développement et l’utilisation de méthodes numériques.

Au terme de ce cours, l’étudiant sera familiarisé avec des techniques originales pour l’étude des systèmes dynamiques et sera capable de les appliquer efficacement à l’étude de problèmes variés et concrets (par exemple : neurosciences, réseaux électriques, finance, etc.).

Objectifs

Le but de ce cours est d’introduire de nouvelles techniques pour l’étude des systèmes dynamiques et d’initier l’étudiant à leur implémentation numérique.

Contenu

La thématique principale du cours est construite autour de la théorie des opérateurs, qui permet de transformer un système dynamique non linéaire en un système linéaire (mais de dimension infinie). Le contenu exact du cours pourra cependant varier d’une année à l’autre suivant l’intérêt et les attentes des étudiants inscrits, ainsi qu’en fonction des développements récents dans le domaine.

Table des matières

Théorie des systèmes dynamiques : rappels (attracteurs, stabilité, chaos), théorie de l’ergodicité.

Théorie des opérateurs : opérateurs de Koopman et Perron-Frobenius, décomposition spectrale, relation entre invariants géométriques et propriétés spectrales.

Méthodes numériques : calcul du spectre et des fonctions propres (moyennes de Fourier, algorithme DMD, méthode d’Arnoldi), projection d’un opérateur sur une base.


Méthodes d'enseignement

Une partie du cours sera donnée au tableau (théorie et méthodes numériques). Une autre partie sera consacrée à la discussion d’un ou plusieurs articles scientifiques ainsi qu’à la préparation du projet (voir ci-dessous). La participation active des étudiants est encouragée.

Mode d'évaluation

Chaque étudiant réalisera un projet individuel au cours duquel il appliquera les méthodes vues au cours afin d’étudier un système dynamique portant sur une thématique de son choix. Ce travail sera évalué sur base d’un rapport écrit et d’une présentation orale.

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle de référence

Deuxième cycle