Méthodes avancées pour les systèmes non linéaires [SMATM227]

Acquis d'apprentissage

Au terme de ce cours, l’étudiant sera familiarisé avec des techniques originales pour l’étude des systèmes dynamiques et sera capable de les appliquer efficacement à l’étude de problèmes variés et concrets (par exemple : neurosciences, réseaux électriques, finance, etc.).

Objectifs

L’étude des systèmes (dynamiques) non linéaires est essentielle dans de nombreux domaines scientifiques. Cependant, les techniques permettant une approche globale et systématique de ces systèmes sont rares. Le but de ce cours est d’étudier des telles techniques, faisant intervenir des outils mathématiques avancés tels que la théorie des opérateurs. L’accent sera également mis sur le développement et l’utilisation de méthodes numériques.
 

Contenu

La thématique principale du cours est construite autour de la théorie des opérateurs, qui permet de transformer un système dynamique non linéaire en un système linéaire (mais de dimension infinie). Le contenu exact du cours pourra cependant varier d’une année à l’autre suivant l’intérêt et les attentes des étudiants inscrits, ainsi qu’en fonction des développements récents dans le domaine.

Table des matières

Théorie des systèmes dynamiques : rappels (attracteurs, stabilité, chaos), théorie de l’ergodicité.

Théorie des opérateurs : opérateurs de Koopman et Perron-Frobenius, décomposition spectrale, relation entre invariants géométriques et propriétés spectrales.

Méthodes numériques : calcul du spectre et des fonctions propres (moyennes de Fourier, algorithme DMD, méthode d’Arnoldi), projection d’un opérateur sur une base.