Fondements des mathématiques [SMATM205]

Objectifs

Ce cours est une introduction à la théorie de la démonstration via les systèmes formels déductifs classiques du premier ordre, à la sémantique associée (théorie des modèles) ainsi qu'à la théorie formelle des ensembles. Le premier objectif est de rendre explicite les règles de grammaire, les abréviations et les abus de langage qui jalonnent les textes mathématiques contemporains. Le deuxième est de mettre en lumière les présuppositions philosophiques qui régissent l'étude des mathématiques formelles via la dichotomie théorie/métathéorie. Le dernier est d'offrir des outils puissants issus de la théorie des ensembles (e.g. les ordinaux) pour pouvoir décrire précisément les hiérarchies structurant les mathématiques contemporaines.

Contenu

Le cours est organisé en trois chapitres. Le premier décrit la logique propositionnelle classique (dite aussi logique booléenne), celle du "vrai" et du "faux" , interprétable par des tables de vérité. Le deuxième est centré sur les théories du premier ordre, extensions de la logique classique, où l'on aborde la question des quantificateurs et des règles de grammaire associées. L'exemple de l'arithmétique de Peano est traité de façon centrale et les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont expliqués. Finalement, le dernier chapitre développe la théorie formelle des ensembles. On y passe en revue tous les concepts traditionnels (union, parties, relation, fonction, produit cartésien, etc.) et on y étudie en détail la théorie des ordinaux et des cardinaux. L'axiome du choix et l'axiome de fondation sont également étudiés.

Disciplines