Fondements des mathématiques [SMATM205]

Acquis d'apprentissage

De bonnes connaissances en mathématique sont nécessaires, vu que le cours traverse les domaines tels que la logique, l'analyse, la géometrie, ...

Objectifs

Contenu

Le cours s'articule autour de trois axes. Le premier axe est d'ordre philosophique. Il porte sur la question de la vérité en sciences et en mathématique en particulier. Comment les mathématiciens voient-ils le rapport à la vérité et au réel ' Que signifie : cette proposition est démontrée ou réfutée ' Le deuxième axe est d'ordre logique. Il s'agit de faire la distinction entre le niveau syntaxique et les niveaux interprétatifs (sémantiques). Peu à peu, des théories sont construites et des théorèmes sont prouvés. La logique des prédicats du premier ordre est étudiée, entre autre, dans ses propriétés de cohérence et de complètude. Le troisième axe est axiomatique. Il s'agit ici de construire la théorie des ensembles à partir d'axiomes fondamentaux. La construction des nombres ordinaux et cardinaux est présentée en détail. L'axiome du choix et l'axiome de fondation, ainsi que la théorie de Zermelo-Fraenkel, sont étudiés. Finalement, les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont expliqués.

Table des matières

Les racines : la logique des anciens, d'Aristote aux stoiciens Le vocabulaire et le formalisme : langage, modèle, structure, cohérence, complétude La logique des prédicats du premier ordre. La théorie des ensembles et la construction des nombres La question de l'infini : les classes cardinales et les alephs L'auto-référence et les théorèmes de Gödel. Conclusions.

Description des exercices

Pas d'exercices ou de travaux pratiques.

Disciplines

Logique mathématique