Cours 2016-2017

Théorie qualitative des systèmes dynamiques [SMATM104]

  • 6 crédits
  • 30h+30h
  • 1er quadrimestre
Langue d'enseignement: Français
Enseignant: Carletti Timoteo

Acquis d'apprentissage

Le cours présente un éventail de résultats et techniques assez récents dans le domaine de la recherche des systèmes dynamiques, une attention particulière est donnée à la dualité "chaos" (irrégulier) et "périodique" (régulier). L'application logistique sera le modèle central du cours, utilisé pour introduire et développer des nouveaux concepts. Les étudiants seront aussi confrontés à la théorie des fractales : leur rôle et lien avec les systèmes dynamiques.

Contenu

1. Introduction : au delà des orbites régulières. 2. L'application logistique : orbites, points fixes et points périodiques. 3. Stabilité des points fixes et diagramme de bifurcation. 4. Dépendance par rapport aux données initiales: exemple et définition. 5. Orbites chaotiques et "mappings wiggly". 6. Conjugaison de mappings et propriétés topologiques. 7. L'application tente et l'ensemble fractal de Cantor triadique. 8. Fractales comme points fixes de systèmes dynamiques : Iterated Functions Systems. 9. Dimensions fractales. 10. Systèmes d'équations différentielles dans le plan : existence de solutions périodiques, le théorème de Poincaré-Bendixon. 11. Conditions de non existence de solutions périodiques. 12. Théorèmes d'existence et unicité de cycles limites : le Théorème de Dragiliev, le Théorème de Massera 13. Stabilité des solutions périodiques et Théorème de Lyapounov-Andronov-Witte

Table des matières

1. Introduction : au delà des orbites régulières. 2. L'application logistique : orbites, points fixes et points périodiques. 3. Stabilité des points fixes et diagramme de bifurcation. 4. Dépendance par rapport aux données initiales: exemple et définition. 5. Orbites chaotiques et "mappings wiggly". 6. Conjugaison de mappings et propriétés topologiques. 7. L'application tente et l'ensemble fractal de Cantor triadique. 8. Fractales comme points fixes de systèmes dynamiques : Iterated Functions Systems. 9. Dimensions fractales. 10. Systèmes d'équations différentielles dans le plan : existence de solutions périodiques, le théorème de Poincaré-Bendixon. 11. Conditions de non existence de solutions périodiques. 12. Théorèmes d'existence et unicité de cycles limites : le Théorème de Dragiliev, le Théorème de Massera 13. Stabilité des solutions périodiques et Théorème de Lyapounov-Andronov-Witte

Description des exercices

Les exercices illustrent les concepts vus au cours. Ils se donnent principalement sur ordinateur et les thèmes abordés sont susceptibles de varier : intégration numérique d'équations différentielles (rappel), point stationnaires, stabilité, mappings, diagrammes de bifurcation, fractales, ensembles de Mandelbrot, dimension fractale, cycles limites, conjugaison.

Méthodes d'enseignement

Cours au tableau avec support de slides récapitulatifs.

Mode d'évaluation

épreuve écrite : 3 h d'exercices et une partie sur ordinateur épreuve orale : présentation d'une question de cours en 10 minutes, extraite en avance.

Sources, références et supports éventuels

K.T. Alligood, T.D. Sauer et J.A. Yorke, Chaos. An introduction to dynamical systems, Springer-Verlag, New York (1996). Cambridge Univ. press (2003). J. Banks, V. Dragan et A. Jones, Chaos, a mathematical introduction, Australian mathematical society Lecture Series 18, Cambridge Univ. press (2003). M. Barnsley, Fractals everywhere, Academic Press London (1988) G.A. Edgar, Measure, Topology and fractal geometry, UTM, Springer-Verlag, New York (1990). H.O. Peitgen, H. J¿urgens et D. Saupe, Chaos and fractals, new frontiers of science, Springer-Verlag, New York (1993) C. Tricot, Courbes et dimension fractale, Springer Berlin (1999). S. H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Westview Press V. Arnol'd: Equations différentielles ordinaires L. Pontriaguine: Equations différentielles ordinaires G. Sansone et R. Conti: Non-linear differential equations Z. Zhang: Qualitative theory of differential equations

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle de référence

Deuxième cycle