Cours 2020-2021

Algèbre linéaire numérique : méthodes directes et itératives [SMATM103]

  • 5 crédits
  • 30h+30h
  • 1er quadrimestre
Langue d'enseignement: Français

Acquis d'apprentissage

Ce cours à pour objectifs de familiariser les étudiants à la résolution de systèmes d'équations linéaires et de problèmes aux valeurs propres par des méthodes numériques directes ou itératives, et de développer l'esprit critique lié à cette démarche (analyse d'erreur, qualité de la solution numérique, etc).

Objectifs

Maîtriser une série d'outils numériques pour la résolution de systèmes d'équations linéaires. 

Contenu

Pour la résolution de systèmes d'équations linéaires, ce cours est basé sur les cinq premiers chapitres ainsi que le dixième chapitre du livre ``Matrix Computation'' (troisième édition), écrit par Gene H. Golub et Charles F. van Loan, Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996. Après une introduction au calcul matriciel, la première partie du cours aborde la résolution des systèmes linéaires généraux et particuliers par méthodes directes. La deuxième partie étudie les systèmes linéaires surdéterminés tandis que la troisième partie concerne la résolution de systèmes linéaires par méthodes itératives.

Table des matières

Pour la résolution de systèmes d'équations linéaires : Chapitre I : Multiplication matricielle A. Algorithmes de base et notation B. Exploitation de la structure C. Matrices blocs et algorithmes associés D. La "vectorisation" Chapitre II : Analyse matricielle A Notions de base d'algèbre linéaire B. Normes vectorielles C. Normes matricielles D. Calcul matriciel en précision finie E. Orthogonalité et décomposition en valeurs singulières F. La sensitivité des systèmes linéaires carrés Chapitre III : Systèmes linéaires généraux A. Systèmes triangulaires B. La factorisation LU C. Analyse d'erreur de l'élimination de Gauss D. Le pivotage Chapitre IV : Systèmes linéaires particuliers A. Les factorisations LDM^T et LDL^T B. Les systèmes définis positifs C. Les systèmes bande D. Les systèmes symétriques indéfinis Chapitre V : Orthogonalisation et moindres carrés A. Matrices de Householder et de Givens B. La factorisation QR C. Le problème aux moindres carrés de rang plein Chapitre VI : Méthodes itératives pour les systèmes linéaires A. Les méthodes standards (Jacobi -- Gauss-Seidel -- SOR) B. La méthode du gradient conjugué C. La méthode du gradient conjugué préconditionnée

Disciplines

Programmation du calcul numérique
Mathématiques
Algèbre linéaire et matricielle

Méthodes d'enseignement

Les modalités d'enseignement et d'évaluation des unités d'enseignement ont été rédigées en fonction de la situation à la rentrée académique 2020-2021. Cependant, ces modalités pourraient faire l'objet de modifications en fonction de l'évolution de la crise sanitaire liée à la covid-19. Les étudiants seront informés de toute modification de la situation générale (passage à l'enseignement à distance partiel ou complet) par les autorités de l'UNamur tandis que les modifications propres à chaque unité d'enseignement leur seront communiquées par les enseignants, via webcampus

Cours magistral. Illustrations des méthodes vues en séances d'exercices.

Si des mesures sanitaires imposent des cours à distance, ceux-ci seront donnés via Teams.

Mode d'évaluation

Les modalités d'enseignement et d'évaluation des unités d'enseignement ont été rédigées en fonction de la situation à la rentrée académique 2020-2021. Cependant, ces modalités pourraient faire l'objet de modifications en fonction de l'évolution de la crise sanitaire liée à la covid-19. Les étudiants seront informés de toute modification de la situation générale (passage à l'enseignement à distance partiel ou complet) par les autorités de l'UNamur tandis que les modifications propres à chaque unité d'enseignement leur seront communiquées par les enseignants, via webcampus

L'évaluation consiste en deux épreuves, l'une portant sur la partie théorique et l'autre sur la partie pratique, sous forme d'examen ou de travail. Chaque épreuve compte pour moitié et constitue une unité d'apprentissage. Au cours d'une même année, l'étudiant est dispensé de repasser l'évaluation d'une des deux parties si elle est réussie (10/20) et pour autant qu'il ait présenté les deux parties la première fois.

Si les mesures sanitaires imposent ou encouragent des évluations à distance, l'épreuve sur la partie théorique se déroulera via Teams, et celle sur la partie pratique également. L'évaluation portera essentiellement sur la qualité de la défense orale de chaque partie.

 

Sources, références et supports éventuels

Matrix computations (Golub et Van Loan)

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle

Etudes de 2ème cycle