Compléments de mathématiques [SMATB333]

Acquis d'apprentissage

Ce cours permet d'introduire des notions de mathématiques avancées (analyse fonctionnelle et calcul tensoriel) en les motivant par les principes et théories fondamentales des physiques classique et relativiste.

Il est permet d'aborder d'autres cours, comme mécanique quantique, théorie quantique des champs et physique des particules élémentaires, relativités restreinte et générale, en donnant une intuition physique et mathématique de quelques principes fondateurs et résultats de base. L'accent du cours est mis sur les concepts, leurs articulations et leurs applications. Le cours ambitionne également de développer les capacités d'auto-apprentissage de nouveaux concepts et de théories avancées de mathématique et de physique. 

Contenu

Le cours se sépare en deux parties:

- approche mathématique des principes de mécanique quantique galiléenne (i.e. non-relativiste) ;

- introduction à la théorie classique des champs

On y trouvera la formalisation mathématique de résultats importants de la physique comme le formalisme de Dirac, l'invariance de Lorentz, les représentations de Schrödinger et de Heisenberg, les équations de Klein-Gordon et Dirac, le spin, la masse, l'antimatière, les théories de jauge, les symétries et les grandeurs conservées. 

 

Table des matières

Contenu du cours en 2023-2024:

Partie 1: mécanique quantique galiléenne et analyse fonctionnelle

- Postulat du vecteur d'état:

Espaces vectoriels topologiques, espaces de Banach, espaces de Hilbert complexes séparables, espace de Lebesgue L^2

- Mécanique ondulatoire et mécanique des matrices

Suites orthonormales complètes, isomorphisme entre espaces d'Hilbert séparables et espace des suites complexes de carrés sommables, équivalence des représentations de Schrödinger et de Heisenberg de la mécanique quantique galiléenne

- Formalisme BRA-KET de Dirac

Dual topologique d'un espace de Hilbert, théorème de représentation de Riesz, distributions, espaces d'Hilbert équipés (triplets de Gel'Fand)

Partie 2: Introduction à la théorie classique des champs

- Espace-temps de Minkowski, champs, symétries :

Invariance relativiste ; intervalle et temps propre  ; isométries ; symétries externes continues et discrètes (parité et renversement du temps) ; groupes de Lie ; groupe de Poincaré (translations, rotations, boosts ou transformations de Lorentz pures) ; représentations des groupes (dont adjointe et représentations irréductibles); masse et spin : particules élémentaires ; champs et symétries internes

- Principe variationnel pour les équations du champ

Densité lagrangienne et action ; des particules au champ : modèle de la chaîne de Lagrange ; théorème de Noether pour les champs : symétries externes continues et grandeurs conservées

- Equation de Klein-Gordon : théorie du champ scalaire complexe (spin 0)

- Equation de Dirac: théorie du champ spinoriel libre (spin 1/2) ; conjugaison de charge et antimatière ;

- Approche lagrangienne pour les équations de Maxwell covariantes (spin 1 ; quadripotentiel vecteur et effet Aharonov-Bohm)

- Invariance de jauge et brisure spontanée de symétrie U(1) (ouverture: effet Meisner, supraconductivité, boson de Brout-Englert-Higgs).

Disciplines

Géométries différentielle et infinitésimale
Analyse fonctionnelle
Géométrie riemannienne
intégrale
symplectique et de poisson