Cours 2020-2021

Compléments de mathématiques [SMATB333]

  • 4 crédits
  • 30h+15h
  • 1er quadrimestre
Langue d'enseignement: Français
Enseignant: Fuzfa Andre

Acquis d'apprentissage

L'objectif principal de ce cours est de fournir aux étudiants en sciences physiques des outils mathématiques plus avancés qui participent aux fondements de théories physiques telles que la mécanique quantique, la relativité générale et la théorie des champs (physique des particules élémentaires). L'accent est mis sur les concepts, leurs articulations et leurs applications. Le cours ambitionne également de développer les capacités d'auto-apprentissage de nouveaux concepts et méthodes de calcul. 

Contenu

Le cours présentera des concepts et outils mathématiques venant de l'analyse fonctionnelle, de la géométrie différentielle riemannienne et lorentzienne, ainsi que des groupes de Lie.

 

Table des matières

Contenu du cours en 2020-2021 :

Partie 1: analyse fonctionnelle pour la mécanique quantique

Aspects algébriques et topologiques: espaces de Banach, Espaces de Hilbert, Dual d'un espace de Hilbert et théorème de représentation de Riesz

Aspects analytiques :Intégrale de Lebesgue, Espaces L^p et Théorie des distributions

Opérateurs hermitien, unitaires, décomposition spectrale et implications en mécanique quantique

Application: théorème de Wigner sur la représentation des états quantiques dans les espaces d'Hilbert

Partie 2: géométrie différentielle riemanienne et groupes de Lie

Variétés différentiables, Vecteurs tangents, cotangents et tenseurs, connexion et dérivée covariante, courbure et torsion, métrique (pseudo-)rIemannienne, connexion de Levi-Civita et applications aux espaces-temps

Introduction aux groupes de Lie et à la théorie des représentations: groupes de Lorentz et de Poincaré en relativité restreinte ; classification des particules élémentaires en théorie classique du champ, lien avec le théorème de Wigner dans les espaces de Hilbert

Disciplines

Géométries différentielle et infinitésimale
Analyse fonctionnelle
Géométrie riemannienne
intégrale
symplectique et de poisson

Pré-requis

Les unités d’enseignement d’une des propositions suivantes:

  1. Mécanique quantique I [SPHYB206]
  2. Physique mathématique I [SPHYB210]

Co-requis

Les unités d’enseignement d’une des propositions suivantes:

  1. Mécanique quantique II [SPHYB301]
  2. Théorie de la relativité restreinte et générale [SPHYB306]

Méthodes d'enseignement

Les modalités d'enseignement et d'évaluation des unités d'enseignement ont été rédigées en fonction de la situation à la rentrée académique 2020-2021. Cependant, ces modalités pourraient faire l'objet de modifications en fonction de l'évolution de la crise sanitaire liée à la covid-19. Les étudiants seront informés de toute modification de la situation générale (passage à l'enseignement à distance partiel ou complet) par les autorités de l'UNamur tandis que les modifications propres à chaque unité d'enseignement leur seront communiquées par les enseignants, via webcampus

Cours théorique de 30h présentant les nouveaux concepts mathématiques complété par 15h de séances d'exercices permettant de se familiariser avec ces nouveaux concepts.

Mode d'évaluation

Les modalités d'enseignement et d'évaluation des unités d'enseignement ont été rédigées en fonction de la situation à la rentrée académique 2020-2021. Cependant, ces modalités pourraient faire l'objet de modifications en fonction de l'évolution de la crise sanitaire liée à la covid-19. Les étudiants seront informés de toute modification de la situation générale (passage à l'enseignement à distance partiel ou complet) par les autorités de l'UNamur tandis que les modifications propres à chaque unité d'enseignement leur seront communiquées par les enseignants, via webcampus

L'examen comporte deux parties : un examen écrit et un examen oral. Ces deux parties sont considérées comme des activités d'apprentissage distinctes d'une même unité d'enseignement.

L'examen écrit consiste en un travail personnel sur deux sujets (un d'analyse fonctionnelle et un autre de géométrie différentielle) donnés à l'avance. Le travail écrit consiste à évaluer les compétences techniques et la compréhension de la théorie.

L'examen oral vise à évaluer la maîtrise de la théorie, en particulier la vision synthétique de la matière, l'explication et la mise en contexte des concepts et les liens avec la physique qui ont été développés tout au long du cours.

La réussite finale est conditionnée à la réussite séparée des deux parties orales et écrites. En cas de réussite des deux parties indépendamment, la clef de répartition suivante est appliquée: 12 points sur 20 pour l'écrit et 8 points sur 20 pour l'oral. En cas d'échec de l'une des deux parties, soit les crédits ne sont pas accordés (note globale < 10/20) mais une dispense partielle (écrit ou oral) peut être accordée par l'enseignant ; soit, si l'échec est modéré (>=8/20), les crédits peuvent être accordés exceptionnellement en fonction du niveau atteint par l'étudiant et de son travail personnel. En cas d'échec des deux parties, les crédits ne sont pas accordés et la note finale est strictement inférieure à 10/20.

Sources, références et supports éventuels

L. Debnath, P. Mikusinski, "Introduction to Hilbert Spaces", Elsevier Academic Press, 2005. E. Prugovecki, "Quantum Mechanics in Hilbert Space", Dover, 2006. Nakahara : "Differential Geometry for Physicists"

 

 

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle

Etudes de 1er cycle