Cours 2017-2018

Compléments de mathématiques [SMATB333]

  • 4 crédits
  • 30h+15h
  • 1er quadrimestre
Langue d'enseignement: Français

Acquis d'apprentissage

L'objectif principal du cours est de donner un fondement mathématique rigoureux aux postulats de la mécanique quantique et de la relativité générale, en en justifiant leurs axiomes et principes fondamentaux par des éléments d'algèbre, de topologie, d'analyse fonctionnelle, de géométrie différentielle et de théorie du champ. L'accent est mis davantage sur les concepts, leurs articulations et leurs applications que sur les techniques de démonstrations. Le cours ambitionne également de développer les capacités d'auto-apprentissage de nouveaux concepts et résultats.

Contenu

La première partie du cours est construite comme une introduction à l'analyse fonctionnelle et aux espaces d'Hilbert en suivant comme fil conducteur une formulation rigoureuse des postulats de la mécanique quantique galiléenne. Les espaces de Banach, d'Hilbert, l'intégrale de Lebesgue, les distributions, etc. sont autant d'outils de base de la théorie quantique mais aussi de la théorie de l'information. Ces outils seront abordés de manière rigoureuse en insistant sur le rôle qu'ils revêtent en mécanique quantique.

La seconde partie du cours vise à familiariser les étudiants avec les outils mathématiques de la géométrie différentielle et du calcul tensoriel. Le fil conducteur est la mathématisation des principes fondateurs des théories de la relativité restreinte et générale que sont les principes de covariance et d'équivalence. Les notions abordées sont les variétés différentiables, affines et (pseudo-)riemaniennes, avec leurs outils des champs tensoriels, dérivée covariante, connexion de Levi-Civita et courbure de Riemann.

 

Table des matières

I) Géométrie des états quantiques - espaces d'Hilbert 1) Aspects algébriques et topologiques espace vectoriel et linéarité en dimension infinie, espaces normés, espaces de Banach, espaces pré-Hilbertients, espaces d'Hilbert, dual topologique et notation de Dirac, postulat du vecteur d'état en mécanique quantique 2) Aspects analytiques intégrale de Lebesgue et mesure de Lebesgue; les espaces L^p(R) ; les distributions ; postulat du vecteur d'état revisité

II) Géométrie de l'espace-temps - géométrie différentielle 1) variétés différentielles et champs tensoriels 2) variétés affines et dérivée covariante, courbure et torsion 3) géométrie riemanienne, métrique et connexion de Levi-Civita 4) applications: théorie covariante de l'électromagnétisme dans l'espace-temps de Minkowski ou implémentation des principes de covariance et d'équivalence

Disciplines

Mécanique quantique classique et relativiste
Analyse fonctionnelle

Pré-requis

Les unités d’enseignement d’une des propositions suivantes:

  1. Analyse complexe [SMATB203] et Algèbre et géométrie analytique [SMATB107] et Algèbre linéaire I [SMATB101]
  2. Mécanique quantique I [SPHYB206]

Co-requis

Mécanique quantique II [SPHYB301]

Méthodes d'enseignement

cours ex-cathedra avec exercices associés au cours. Des lectures d'articles et de textbooks pour développer les capacités d'auto-apprentissage des étudiants sont réalisées également.

Mode d'évaluation

Examen oral comprenant une question théorique de synthèse (par exemple, développement mathématique des postulats de la mécanique quantique), des définitions et la présentation d'une question préparée à l'avance, notamment aux travaux dirigés (sur un article ou une partie d'un ouvrage).

Sources, références et supports éventuels

L. Debnath, P. Mikusinski, "Introduction to Hilbert Spaces", Elsevier Academic Press, 2005. E. Prugovecki, "Quantum Mechanics in Hilbert Space", Dover, 2006. Nakahara : "Differential Geometry for Physicists"

 

 

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle

Etudes de 1er cycle