Équations aux dérivées partielles et méthodes numériques [SMATB317]

Acquis d'apprentissage

Le cours dotera les étudiant.e.s d'un bagage théorique et pratique pour le traitement d'équations aux dérivées partielles: position du problème, conditions de bord, classification, solutions analytiques, méthodes numériques.

Objectifs

Les étudiant.e.s devront être capables à l'issue du cours :

- d'analyser un problème formulé en termes d'EDP - équations aux dérivées partielles - (propriétés analytiques et classification),

- de trouver des solutions analytiques générales ou particulières éventuellement dans des cas simplifiés

- de développer et valider un code numérique d'approximation des solutions d'EDPs.

Contenu

Le cours théorique se décompose en deux parties principales. La première traite plutôt des aspects théoriques (position d'un problème d'EDP, classification, méthodes analytiques) ; la seconde présente deux grandes familles de méthodes de base pour leur "résolution" (approximation) numérique, avec des exemples résolus. Les travaux pratiques porteront sur les aspects analytiques (résolution "à la main") et sur les aspects numériques ("résolution par ordinateur").

Table des matières

Partie 1: Aspects théoriques des équations aux dérivées partielles (EDPs) - C. Dubussy

1. Notions d’EDP et de problème bien posé (conditions de Dirichlet et de Neumann). 
2. Exemples de résolutions faciles d’EDP d’ordre 1. 
3. Caractérisation des EDP d’ordre 2. 
4. L’équation d’onde homogène, d’abord sans valeurs initiales, puis avec (d’Alembert). 
5. L’équation de diffusion homogène, principe du maximum, cas de la droite, de la demi-droite, etc 
6. Equations inhomogènes, méthode des caractéristiques, principe de Duhamel. 
7. Le cas des segments : la méthode de séparation des variables. 
8. Equation de Laplace. Etude en dimension 2 sur un rectangle, un cercle, etc.

Partie 2: introduction aux méthodes numériques de résolution des EDPs (A. Füzfa)

1. Méthode des différences finies : construction des formules d'approximation ; erreurs de troncature et d'arrondis par l'exemple
2. Conditions de bord (Dirichlet, Neumann, Sommerfeld-radiative) et implémentation
3. Application des différences finies : méthode des lignes, schémas de différences finies, illustrations sur des EDPs du premier et du second ordre, convergence et validation des codes (solutions analytiques, grandeurs conservées, etc.), conditions de stabilité de Courant-Friedrich
4. Méthodes spectrales ; principes ; approximations de fonctions par décomposition orthogonale dans un espace d'Hilbert ; fonctions propres du laplacien dans différentes géométries et coordonnées ; application à l’équation d’onde ou de la chaleur