Géométrie symplectique [SMATB307]

Objectifs

Le cours consiste en une introduction à la mécanique hamiltonienne: équations hamiltoniennes, transformations canoniques, équations d'Hamilton-Jacobi, variables angle-action.

La Géométrie symplectique est à la base de la théorie hamiltonienne; on peut même aller plus loin et dire que « la mécanique hamiltonienne est une géométrie sur une variété symplectique ». En partant de simples exemples, nous montrons le lien entre géométrie et mécanique classique (lagrangienne et hamiltonienne). Cela nous permet de rappeler des notions de géométrie différentielle (variété, espace tangent) et nous introduisons la notion de forme différentielle pour définir une variété symplectique. La notion de fonction d'Hamilton est alors définie en toute généralité. Nous étudions les propriétés des systèmes Hamiltoniens par changement de variables canoniques et montrons comment déterminer si une transformation est canonique et comment en construire une. Le cours se termine par la construction des variables angle-action et une application au problème des deux corps.

Table des matières

Chapitre I. Rappels de mécanique lagrangienne. Chapitre II. Introduction à la mécanique hamiltonienne. Chapitre III. Formalisme canonique. Chapitre IV. Théorie d'Hamilton-Jacobi et variables angle-action. Chapitre V. Application: Le problème des deux corps.