Géométrie différentielle [SMATB214]

Acquis d'apprentissage

Le cours vise à introduire les outils modernes du calcul tensoriel sur variétés différentiables affines et riemaniennes. De nombreux objets géométriques sont introduits ou généralisés, en relation avec l'algèbre linéaire et le calcul différentiel. En plus d'une vision cohérente de l'articulation de tous ces concepts, le cours vise à doter les étudiants d'outils de calcul tensoriel puissants, qui sont largement utilisés tant en mathématiques fondamentales, appliquées qu'en physique théorique.

Contenu

Outre la conceptualisation de nombreux objets géométriques comme les courbes, surfaces, variétés et tenseurs, le cours vise également à illustrer la géométrisation du calcul différentiel élémentaire. La géométrie différentielle constitue en effet une synthèse élégante et puissante de celui-ci, en reliant géométrie, algèbre et analyse. Le cours se divise en cinq parties : (i) variétés différentiables et calculus sur variétés (notions de tenseurs et champs tensoriels, courbes, surfaces, difféomorphismes, flots et dérivées de Lie) ; (ii) courbure et torsion sur variétés affines (transport parallèle, connexion linéaire, dérivée covariante, courbure et torsion) ; (iii) géométrie Riemannienne (métrique, distance géodésique, connexion de Levi-Civita, tenseur de Riemann, et applications), (iv) formes différentielles et calcul extérieur (dérivée et produit extérieur) et (v) géométrie Lorentzienne (métrique Lorentzienne, espace-temps, causalité, espaces globalement hyperboliques).

Disciplines

Géométries différentielle et infinitésimale
Géométrie riemannienne
intégrale
symplectique et de poisson