Cours 2021-2022

Géométrie différentielle [SMATB214]

  • 4 crédits
  • 30h+22.5h
  • 2e quadrimestre
Langue d'enseignement: Français
Enseignant: Fuzfa Andre

Acquis d'apprentissage

Le cours vise à introduire les outils modernes du calcul tensoriel sur variétés différentiables affines et riemaniennes. De nombreux objets géométriques sont introduits ou généralisés, en relation avec l'algèbre linéaire et le calcul différentiel. En plus d'une vision cohérente de l'articulation de tous ces concepts, le cours vise à doter les étudiants d'outils de calcul tensoriel puissants, qui sont largement utilisés tant en mathématiques fondamentales, appliquées qu'en physique théorique.

Contenu

Outre la conceptualisation de nombreux objets géométriques comme les courbes, surfaces, variétés et tenseurs, le cours vise également à illustrer la géométrisation du calcul différentiel élémentaire. La géométrie différentielle constitue en effet une synthèse élégante et puissante de celui-ci, en reliant géométrie, algèbre et analyse. Le cours se divise en cinq parties : (i) variétés différentiables et calculus sur variétés (notions de tenseurs et champs tensoriels, courbes, surfaces, difféomorphismes, flots et dérivées de Lie) ; (ii) courbure et torsion sur variétés affines (transport parallèle, connexion linéaire, dérivée covariante, courbure et torsion) ; (iii) géométrie Riemannienne (métrique, distance géodésique, connexion de Levi-Civita, tenseur de Riemann, et applications), (iv) formes différentielles et calcul extérieur (dérivée et produit extérieur) et (v) géométrie Lorentzienne (métrique Lorentzienne, espace-temps, causalité, espaces globalement hyperboliques).

Disciplines

Géométries différentielle et infinitésimale
Géométrie riemannienne
intégrale
symplectique et de poisson

Pré-requis

Analyse réelle II [SMATB102] et Algèbre linéaire I [SMATB101]

Co-requis

Equations différentielles [SMATB222] et Topologie générale [SMATB216]

Méthodes d'enseignement

La référence principale du cours théorique est le syllabus. Le cours théorique se donne au tableau et comprend de nombreuses illustrations et développements non présents dans le syllabus, mais complémentaires. Il est donc hautement recommandé d'avoir une participation active au cours, ainsi qu'aux travaux dirigés.

Mode d'évaluation

Une première évaluation écrite portera sur les compétences calculatoires acquises durant la participation aux travaux dirigés. Une seconde évaluation orale complétera la première et portera sur le cours théorique. La note finale est la moyenne arithmétique des évaluations écrites et orales, pour autant que les deux notes soient réussies séparément. Les parties en échec (écrit et/ou oral) en juin seront représentées par l'étudiant en septembre. Un report de note de la partie écrite ou orale d'une année académique à l'autre n'est pas envisageable.

 

Sources, références et supports éventuels

M. Nakahara, "Geometry, topology and physics" IoP, 2005.

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle

Etudes de 1er cycle