Cours 2020-2021

Géométrie différentielle [SMATB214]

  • 4 crédits
  • 30h+22.5h
  • 2e quadrimestre
Langue d'enseignement: Français
Enseignant: Fuzfa Andre

Acquis d'apprentissage

Le cours vise à introduire les outils modernes du calcul tensoriel sur variétés différentiables affines et riemaniennes. De nombreux objets géométriques sont introduits ou généralisés, en relation avec l'algèbre linéaire et le calcul différentiel. En plus d'une vision cohérente de l'articulation de tous ces concepts, le cours vise à doter les étudiants d'outils de calcul tensoriel puissants, qui sont largement utilisés tant en mathématiques fondamentales, appliquées qu'en physique théorique.

Contenu

Outre la conceptualisation de nombreux objets géométriques comme les courbes, surfaces, variétés et tenseurs, le cours vise également à illustrer la géométrisation du calcul différentiel élémentaire. La géométrie différentielle constitue en effet une synthèse élégante et puissante de celui-ci, en reliant géométrie, algèbre et analyse. Le cours se divise en cinq parties : (i) variétés différentiables et calculus sur variétés (notions de tenseurs et champs tensoriels, courbes, surfaces, difféomorphismes, flots et dérivées de Lie) ; (ii) courbure et torsion sur variétés affines (transport parallèle, connexion linéaire, dérivée covariante, courbure et torsion) ; (iii) géométrie Riemannienne (métrique, distance géodésique, connexion de Levi-Civita, tenseur de Riemann, et applications), (iv) formes différentielles et calcul extérieur (dérivée et produit extérieur) et (v) géométrie Lorentzienne (métrique Lorentzienne, espace-temps, causalité, espaces globalement hyperboliques).

Disciplines

Géométries différentielle et infinitésimale
Géométrie riemannienne
intégrale
symplectique et de poisson

Pré-requis

Algèbre linéaire I [SMATB101] et Analyse réelle II [SMATB102]

Co-requis

Topologie générale [SMATB216] et Equations différentielles [SMATB222]

Méthodes d'enseignement

Les modalités d'enseignement et d'évaluation des unités d'enseignement ont été rédigées en fonction de la situation à la rentrée académique 2020-2021. Cependant, ces modalités pourraient faire l'objet de modifications en fonction de l'évolution de la crise sanitaire liée à la covid-19. Les étudiants seront informés de toute modification de la situation générale (passage à l'enseignement à distance partiel ou complet) par les autorités de l'UNamur tandis que les modifications propres à chaque unité d'enseignement leur seront communiquées par les enseignants, via webcampus

En 2020-2021, le cours sera donné sous forme de classe inversée. La référence principale du cours théorique est le syllabus. Les étudiants recevront des devoirs à intervalles réguliers (voir évaluation du cours) sur lesquelles ils seront notés, mais pourront réviser leur copie en cas d'échec. Les séances en présentiel seront utilisées pour donner un retour commenté sur les devoirs aux étudiants, expliquer les points de matière ayant posé difficulté et présenter la matière suivante en pointant les éléments clés. Les séances en présentiel alterneront avec des séances libres à distance où les étudiants réaliseront leur travail personnel et les encadrants seront à leur disposition pour toute question.

Mode d'évaluation

Les modalités d'enseignement et d'évaluation des unités d'enseignement ont été rédigées en fonction de la situation à la rentrée académique 2020-2021. Cependant, ces modalités pourraient faire l'objet de modifications en fonction de l'évolution de la crise sanitaire liée à la covid-19. Les étudiants seront informés de toute modification de la situation générale (passage à l'enseignement à distance partiel ou complet) par les autorités de l'UNamur tandis que les modifications propres à chaque unité d'enseignement leur seront communiquées par les enseignants, via webcampus

En 2020-2021, le cours sera donné en mode d'évaluation continue. Les étudiants devront s'acquitter de 3 ou 4 devoirs donnés à intervalles réguliers avec un délai d'exécution d'au moins 2 semaines pour chaque devoir. Les devoirs porteront sur chacune des parties du cours (variétés différentiables, variétés affines, géométrie riemanienne, calcul extérieur) et comprendront des questions de théorie (synthèse transversale et questions ouvertes) et d'exercices. Les étudiants recevront un retour personnalisé sur leur travail et pourront resoumettre un devoir évalué en échec, mais la date butoir de remise est fixée. La note finale est la moyenne arithmétique des notes de chaque devoir. En cas d'échec en juin, un travail complémentaire, axé sur les faiblesses de l'étudiant, sera proposé. Il n'y a donc pas d'examen de rattrapage en session, conformément au principe d'évaluation continue.

 

Sources, références et supports éventuels

M. Nakahara, "Geometry, topology and physics" IoP, 2005.

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle

Etudes de 1er cycle