Cours 2017-2018

Géométrie différentielle [SMATB214]

  • 4 crédits
  • 30h+22.5h
  • 2e quadrimestre
Langue d'enseignement: Français
Enseignant: Fuzfa Andre

Acquis d'apprentissage

Le cours vise à introduire les outils modernes du calcul tensoriel sur variétés différentiables affines et riemaniennes. De nombreux objets géométriques sont introduits ou généralisés, en relation avec l'algèbre linéaire et le calcul différentiel. En plus d'une vision cohérente de l'articulation de tous ces concepts, le cours vise à doter les étudiants d'outils de calcul tensoriel puissants, qui sont largement utilisés tant en mathématiques fondamentales, appliquées qu'en physique théorique.

Contenu

Outre la conceptualisation de nombreux objets géométriques comme les courbes, surfaces, variétés et tenseurs, le cours vise également à illustrer la géométrisation du calcul différentiel élémentaire. La géométrie différentielle constitue en effet une synthèse élégante et puissante de celui-ci, en reliant géométrie, algèbre et analyse. Le cours se divise en cinq parties : (i) variétés différentiables et calculus sur variétés (notions de tenseurs et champs tensoriels, courbes, surfaces, difféomorphismes, flots et dérivées de Lie) ; (ii) courbure et torsion sur variétés affines (transport parallèle, connexion linéaire, dérivée covariante, courbure et torsion) ; (iii) géométrie Riemannienne (métrique, distance géodésique, connexion de Levi-Civita, tenseur de Riemann, et applications), (iv) formes différentielles et calcul extérieur (dérivée et produit extérieur) et (v) géométrie Lorentzienne (métrique Lorentzienne, espace-temps, causalité, espaces globalement hyperboliques).

Disciplines

Géométries différentielle et infinitésimale
Géométrie riemannienne
intégrale
symplectique et de poisson

Pré-requis

Algèbre et géométrie analytique [SMATB107] et Analyse réelle II [SMATB102]

Co-requis

Topologie générale [SMATB216] et Equations différentielles [SMATB222]

Méthodes d'enseignement

Le cours se présente d'une manière classique : des notes de cours dactylographiées accompagnent les développements et illustrations géométriques au tableau. Les exercices reprennent les notions théoriques vues au cours en les illustrant sur d'autres exemples, tout en mettant en pratique le calcul tensoriel.
 

Mode d'évaluation

L'examen comporte deux parties : un examen écrit et un examen oral. Ces deux parties sont considérées comme des activités d'apprentissage distinctes d'une même unité d'enseignement. Les questions d'examen écrit sont uniquement des questions d'exercices : elles portent sur des applications du même genre que celles proposées dans les séances de travaux dirigés. Elles visent à évaluer la capacité de l'étudiant à mettre en oeuvre les concepts et résultats principaux du cours ainsi que les méthodes de calcul introduites. En ce qui concerne l'examen oral, les questions portent sur la théorie, à la fois sur des questions de démonstration ou de synthèse. L'accent est mis sur la compréhension, la précision, la rigueur mathématique et l'esprit de synthèse. 

La note finale est au minimum la moyenne arithmétique (arrondie vers le bas) des notes de l'examen oral et de l'examen écrit, à condition que ces deux activités d'apprentissage soient réussies séparément (notes d'au moins 10/20). Cette note finale peut être ajustée positivement afin de refléter l'impression générale donnée par l'étudiant. En cas d'échec modéré à l'une de ces activités d'apprentissage (note d'au moins 7/20), les deux examens écrit et oral seront considérés conjointement au niveau de leur contenu afin de déterminer si l'étudiant a acquis suffisamment de connaissances et de compétences que pour justifier une réussite globale pour l'unité d'enseignement, la moyenne arithmétique n'étant plus un critère suffisant de réussite dans ce cas. Une note strictement inférieure à 7/20 à l'une de ces activités d'apprentissage entrainera automatiquement une note d'échec pour l'unité d'enseignement.

Sources, références et supports éventuels

M. Nakahara, "Geometry, topology and physics" IoP, 2005.

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle

Etudes de 1er cycle