Cours 2017-2018

Analyse complexe [SMATB203]

  • 5 crédits
  • 22.5h+30h
  • 1er quadrimestre
Langue d'enseignement: Français
Enseignant: Carletti Timoteo

Objectifs

Comme celui de 1ère année de bachelier, ce cours a pour but l'enseignement des bases théoriques et pratiques d'Analyse que doit posséder un futur physicien ou un futur mathématicien. Il a pour objet l'étude des questions plus spécifiquement traitées en variable complexe, y compris la théorie des séries de Fourier. Ce cours constitue un prolongement logique du cours d'Analyse donné en premier bachelier et il poursuit les mêmes objectifs que celui-ci.

Contenu

Les matières suivantes seront abordées dans le cours :

  1. Séries entières
  2. Séries de Fourier
  3. Intégration le long d'un chemin
  4. Fonctions anlytiques
  5. Théorème et formule intégrale de Cauchy et leurs conséquences
  6. Singularités et théorème de Laurent
  7. Théorème des résidus de Cauchy et applications à l'intégrale sur un contour

De plus, une application numérique (à l'aide du logiciel matlab) des séries de Fourier sera présentée lors des travaux dirigés.

Table des matières

  • Chapitre 0 : Nombres complexes
  • Chapitre 1 : Séries entières. Fonctions analytiques d'une variable complexe.
  • Chapitre 2 : Théorie élémentaire des séries de Fourier.
  • Chapitre 3 : Prélude au Théorème de Cauchy (Intégrale le long d'un chemin)
  • Chapitre 4 : Théorème de Cauchy
  • Chapitre 5 : Conséquences du Théorème de Cauchy
  • Chapitre 6 : Singularités et Séries de Laurent
  • Chapitre 7 : Théorème des Résidus de Cauchy

Pré-requis

Analyse réelle I [SMATB103] et Analyse réelle II [SMATB102]

Méthodes d'enseignement

Cours théorique magistral (30h) accompagné de séances d'exercices en petits groupes (30h) et, uniquement pour les étudiants du programme de bachelier en sciences mathématiques, d'un travail de groupe.

Mode d'évaluation

L'examen comporte deux parties: un examen écrit (exercices) et un examen oral (questions de cours).

1) La partie écrite porte uniquement sur des exercices.

2) la partie orale comporte :

- une question du type: énoncer et démontrer un théorème.

- une question du type: répondre à une série de petites questions mettant en lumière les liens entre différentes notions (synthèse).

- une question portant sur le thème approfondi dans le travail de groupe (lorsqu'un tel travail a été demandé en cours d'année).

Pour la question portant sur la démonstration d'un théorème, l'étudiant(e) dispose d'un temps de préparation suffisant. L'examinateur tient compte de l'orientation d'études de l'étudiant(e) lors de l'examen.

Sources, références et supports éventuels

Pas de syllabus pour le cours théorique. Syllabus d'exercices contenant les rappels et les énoncés des exercices par chapitre.

Ouvrage de référence : H.A. PRIESTLEY, Introduction to complex analysis, Oxford Sciences Publications, 1990.

Langue d'enseignement

Français

Lieu de l'activité

NAMUR

Faculté organisatrice

Faculté des sciences
Rue de Bruxelles, 61
5000 NAMUR

Cycle

Etudes de 1er cycle