Algèbre et géométrie analytique - Partim Physique [SMATB107]

Acquis d'apprentissage

Le cours propose d'apprendre des concepts fondamentaux d'algèbre linéaire et leurs représentations ou applications en géométrie analytique. Les notions vues à ce cours sont centrales pour de nombreuses disciplines des mathématiques et de la physique parmi lesquelles on retrouve l'analyse fonctionnelle, la mécanique classique et quantique, la géométrie différentielle, la relativité, les systèmes dynamiques, la théorie des champs (électromagnétisme, etc.) et le calcul numérique.

Objectifs

L'objectif principal est de fixer plusieurs notions élémentaires essentielles de l'algèbre linéaire, et de ses applications en géométrie, ainsi que d'établir plusieurs théorèmes et résultats centraux pour la suite du cursus.

Contenu

Le cours aborde successivement les notions fondamentales d'algèbre linéaire suivantes : espaces vectoriels, dualité, multilinéarité, déterminant, formes hermitiennes, unitarité. Chaque chapitre débute par la structure algébrique avant d'en donner une représentation ou une application en géométrie (espaces affines, droites et plans, parallélisme, coordonnées contravariantes et covariantes, tenseurs, produit vectoriel, volume, orthogonalité, longueur, etc.). Un dernier chapitre sur l'analyse vectorielle dans l'espace euclidien à 3 dimensions clôt le cours en mêlant plusieurs concepts vus précédemment.

Table des matières

1. Espaces affines, espaces vectoriels et R^3 : (application en géométrie : droites et plans, parallélisme, coordonnées contravariantes)
2. Dualité dans les espaces vectoriels et métriques (en géométrie : vecteurs duaux, coordonnées contra et cova, isomorphismes réflexifs)
3. Multilinéarité: produit tensoriel et tenseurs, permutations et (anti-)symétrisation: produit extérieur (en géométrie: parallélogrammes et parallélépipèdes, produit vectoriel dans E^3)
4. Déterminant (géométrie: transformation du volume par un automorphisme)
5. Formes hermitiennes (géométrie: produit scalaire, métrique, orthogonalité, longueur et angle)
6. Transformations orthogonales et unitaires, isométries
7. Analyse vectorielle dans E^3 (géométrie des courbes et surfaces, formes fondamentales, coordonnées curvilignes orthogonales, opérateurs gradient, divergence, rotationnel et laplacien).

Description des exercices

Les exercices sont cruciaux pour développer des compétences calculatoires essentielles pour le/la mathématicien.ne et le/la physicien.ne. Ils sont construits en étroite collaboration avec le cours théorique. 

Le travail de groupe permet d'approfondir un point du cours, ou d'y ajouter un contenu proche.

Disciplines