Algèbre et géométrie analytique [SMATB107]

Acquis d'apprentissage

Le cours propose d'apprendre des concepts fondamentaux d'algèbre linéaire et leurs représentations ou applications en géométrie analytique. Les notions vues à ce cours sont centrales pour de nombreuses disciplines des mathématiques et de la physique parmi lesquelles on retrouve l'analyse fonctionnelle, la mécanique classique et quantique, la géométrie différentielle, la relativité, les systèmes dynamiques, la théorie des champs (électromagnétisme, etc.) et le calcul numérique.

Objectifs

L'objectif principal est de fixer plusieurs notions élémentaires essentielles de l'algèbre linéaire, et de ses applications en géométrie, ainsi que d'établir plusieurs théorèmes et résultats centraux pour la suite du cursus.

Contenu

Le cours se décompose en trois parties: I) les espaces vectoriels et la géométrie affine, 2) les espaces euclidiens et la géométrie métrique et 3) l'algèbre multilinéaire

Table des matières

I) Espaces vectoriels et géométrie affine

1. Rappels sur les espaces vectoriels de dimension finie
2. Dualité dans les espaces vectoriels 
3. Applications en géométrie affine

II) ESpaces euclidiens et géométrie métrique

1. Espaces métriques
2. Dualité dans les espaces métriques
3. Bases dans un espace métrique
4. Transformations remarquables dans les espaces métriques (adjointes, unitaires, hermitiennes)

III) Algèbre multilinéaire

1. Tenseurs
2. Cotenseurs et k-formes
3. le déterminant en algèbre multilinéaire
4. Application des k-formes en géométrie: forme de volume et produit vectoriel

Description des exercices

Les exercices sont cruciaux pour développer des compétences calculatoires essentielles pour le/la mathématicien.ne et le/la physicien.ne. Ils sont construits en étroite collaboration avec le cours théorique.

Pour les mathématicien.ne.s, le travail de groupe permet d'approfondir un point du cours, ou d'y ajouter un contenu proche. 

Disciplines