Outils et méthodes appliqués à la Chimie et à la Géologie [SCHIB209]

Acquis d'apprentissage

Reconnaître et résoudre les équations différentielles du premier ordre séparables, homogènes, à seconds terme et membre constants, exactes et pseudo-homogènes.

Utiliser la méthode de variation de constantes ou de facteur intégrand pour les cas généraux du premier ordre.

Maîtriser des méthodes de résolution graphique et numérique des équations différentielles du premier ordre.

Résoudre les équations différentielles du second ordre par les méthodes de variation de constantes et des coefficients indéterminés.

Manipuler les transformées de Laplace et les utiliser pour résoudre les équations différentielles.

Maîtriser la technique de Fourier pour le développement de fonctions périodiques simples.

Préciser les propriétés des coefficients de Fourier et les conditions de convergence des séries correspondantes.

Utiliser les transformées de Fourier.

Objectifs

Reconnaître et choisir une méthode de résolution des équations différentielles du permier et du second ordre.

Résoudre des problèmes concrets mettant en jeu des équations différentielles.

Développer correctement une fonction en termes de sommation de Fourier.

Se familiariser avec la notion de transformée (Laplace / Fourier).

Contenu

1. Equations différentielles du premier ordre

1.A. Séparables

1.B. Linéaires B.1. Exactes B.2. Homogènes B.3. Avec constantes B.4. Pseudo-homogènes

1.C. Le cas général linéaire C.1. La variation des constantes C.2. Le facteur intégrand

1.D. Equations de Bernouilli et de Riccatti

1.E. Méthodes d 'approximation E.1. Le champ directionnel E.2. La méthode d 'Euler E.3. La méthode de Runge-Kutta E.4. La méthode de Moulton-Bashforth-Adams

2. Equations différentielles du deuxième ordre

2.A. Homogènes

2.B. Les coefficients indéterminés B.1. Solutions exponentielles B.2. Solutions périodiques B.3. Solutions polynomiales

2.C. La variation des constantes

2.D. La transformée de Laplace

2.E. Equations d'Euler, Bessel et Legendre

3. Exemples et applications

3.A. Loi de Malthus

3.B. Modèles sigmoïde et de Verhulst

3.C. Modèles de croissance exponentielle, logistique et de Monod

3.D. Modèle de Ricker

3.E. Rapports et lois de Mendel

3.F. Loi de refroidissement-réchauffement (Newton)

3.G. Cinétiques de destructions thermiques et bactériennes

3.H. Modèle de la Reine Rouge

3.I. Modèles proies-prédateurs

3.J. Réacteurs modèles

3.K. Réactions chimiques successives

3.L. Réactions chimiques compétitives

3.M. Réactions oscillantes

4. Analyse de Fourier

4.A. Fonctions périodiques

4.B. Le développement de Fourier

4.C. Les conditions de Dirichlet

4.D. Détermination des coefficients de Fourier

4.E. Identité de Parseval et inégalité de Bessel

4.F. Convergence et erreur quadratique

4.G. Les fonctions à période quelconque

4.H. La notation d'Euler

4.I. La transformée de Fourier

Table des matières

cfr. Contenu

Description des exercices

Travaux dirigés portant sur la résolution de différents types d'équations différentielles.